Atelier Maths
Dessin de Rosaces
Objectifs
- S’amuser à dessiner différents types de rosaces à la règle et au compas.
- Entrevoir quelques concepts et théorèmes mathématiques sous-jacents.
Un même problème sous plusieurs angles…
- Maternelle : Partage équitable d’un gâteau 🥧
- Élémentaire : Dessin de rosaces 💮
- Collège : Tracé de polygones réguliers ⬡
- Lycée : Calcul de valeurs trigonométriques 📐
- Université : Décomposition d’une extension cyclotomique du corps des nombres rationels en tour d’extensions quadratiques 🤔💭💫
Constructions à la règle et au compas
- Tracer la droite passant par deux points. ✅
- Tracer le cercle centré en un point et de rayon la distance entre deux points. ✅
- Utilisation de graduations ou d’autres instruments (rapporteur, équerre, …). ❌
- Construction approximative avec une éventuelle succession d’ajustements. ❌
La rosace à 6 pétales
Rosace “classique” avec des cercles de rayon fixe :
Taille des pétales 1/3
La longueur est égale au rayon du cercle. La largeur “classique” est un quart de la longueur.
Taille des pétales 2/3
Pour un rayon d’arcs fixe et une longueur de pétale divisée par deux, la largeur est divisée par quatre.
Taille des pétales 3/3
Pour une longueur de pétale fixe et un rayon d’arcs multiplié par deux, la largeur est divisée par deux.
Dessin des pétales 1/2
En choisissant la longueur et le rayon des arcs (plus les rayons sont grands, plus la largeur est petite).
Dessin des pétales 2/2
En choisissant la longueur et la largeur des pétales.
Rosace dédoublée
En ajoutant les bissectrices des 6 pétales, on obtient une rosace à 12 pétales.
Rosace extraite
En sélectionnant un pétale sur deux ou sur trois, on extrait une rosace à 3 ou 2 pétales.
Rosace à 5 pétales
En utilisant les sommets d’un pentagone régulier, on dessine une rosace à 5 pétales.
Rosaces dédoublées
On dédouble les rosaces à 2 et 5 pétales…
PPCM de deux rosaces
En combinant les rosaces à 3 et 5 pétales, on obtient celle à 15 = 3 × 5 = PPCM(3, 5) pétales !
En résumé
Rosaces avec au plus une vingtaine de pétales :
- On construit des rosaces à 5 ou 6 pétales.
- On divise le nombre de pétales : 2, 3.
- On le double : 4, 8, 10, 12, 16, 20.
- On considère les PPCMs : 15.
Et celles à 7, 9, 11, 13, 14, 17, 18, 19 pétales ?
Pour aller plus loin
Théorèmes de Thalès, de Mohr-Mascheroni, de Bachet-Bézout et de Gauss-Wantzel.
Fin de la
présentation
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