Atelier Maths (2021/03/24)

• Encadrants : Frédéric, Margaux, Olivier
• Enfants présents : Ilyès, Saïd, Aurélien, Adnane, Khalid, Maïmouna, Idris

Introduction

L’objectif de cet atelier était de s’amuser à tracer des rosaces et de revoir ainsi des notions mathématiques vues à l’école.

Nous avons étudié le problème de tracé de figures régulières sur le cercle en utilisant seulement la règle et le compas. Il peut se décliner en différents problèmes équivalents selon les niveaux.

Goûter mathématique

Nous avons partagé deux gâteaux achetés à une boulangerie du quartier (flan et tarte boulangère). Margaux a partagé le flan en 8 et la tarte en 12. En regroupant les parts, on peut aussi les partager selon les diviseurs de 8 (1, 2, 4, 8) et de 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12).

Pour le flan, Margaux l’a découpé en 2 puis, en 4, puis en 8. Se faisant, elle a tracé un diamètre, puis la médiatrice de ce diamètre, puis deux bissectrices. Cela peut se faire à la règle et au compas (cours de 6e). Pour la tarte, elle a à nouveau découpé en 4, puis chaque quart en 3. Cela revient à résoudre le problème de la trisection de l’angle, impossible en général mais possible dans le cas d’un angle de 360°/4 = 90°. Il suffit de considérer l’intersection des médiatrices des rayons orthogonaux avec le cercle.

Dessins de rosaces

Nous avons ensuite revu comment tracer la rosace classique à 6 pétales qui est équivalent au tracé d’un hexagone régulier ! On vérifie que 360°/6 = 60°, ce qui correspond aux angles des six triangles équilatéraux tracés.

Comme pour les gâteaux, on peut toujours doubler le nombre de pétales (6, 12, 24, 48, 96….) ou utiliser les diviseurs (1, 2, 3, 6) pour extraire des pétales.

Nous avons vu comment dessiner un pétale allant du centre à n’importe quel point du cercle. Il suffit alors de savoir placer des points régulièrement sur le cercle pour tracer la rosace correspondante. En reprenant ce que Margaux a fait pour le flan, nous avons tracé des rosaces à 4 ou 8 pétales.

La rosace classique utilise pour ses pétales des arcs de même rayon que celui du cercle dans lequel elle est inscrite. On vérifie que leur largeur est un quart du rayon.

Pour diversifier un peu le visuel des rosaces, nous avons fait varier la largeur des pétales. Pour diminuer la largeur, on augmente le rayon des arcs et vice-versa. Par exemple, en doublant le rayon les pétales sont deux fois plus fines.

On a ensuite tracé des rosaces à cinq pétales et constaté les difficultés et imprécisions que cela peut comporter. Enfin nous avons vu comment « fusionner » deux rosaces. Par exemple, la fusion des rosaces à 4 et 6 pétales donne la rosace à 12 = PPCM(4, 6) pétales.

Notions plus avancées

À la fin de la session, nous avons vu quelques démonstrations avec les troisièmes pendant que les plus jeunes continuaient leurs œuvres d’art.

Nous avons utilisé le théorème de Thalès pour vérifier que le rayon des arcs à utiliser pour le tracé est le rayon du cercle circonscrit au carré divisé par la largeur des pétales. Les cas particuliers intéressants sont quand on utilise des rayons d’arcs égaux à celui du cercle ou égaux au double.

Nous avons vu les théorèmes de Bézout et algorithme d’Euclide étendu afin de montrer comment la fusion de rosaces est reliée aux notions de PPCM et PGCD vues en troisième.

Finalement, nous avons revu les nombres premiers de Fermat connus (3, 5, 17, 257, 65 537) et donné un aperçu du théorème de Gauss-Wantzel et de sa démonstration. Pour les rosaces avec au plus 20 pétales, on peut toutes les construites à la règle et au compas, sauf celle à 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 cotés. Le cas 17 a été trouvé par Gauss.

Le cas général est qu’une rosace est constructible si et seulement si la décomposition en facteur premier de son nombre de pétale est fait d’une puissance de 2 et de nombres premiers de Fermat distincts.